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Fisica

E = mc². Massa, energia e… velocità della luce al quadrato

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È ormai passato un secolo da quando Albert Einstein formulò la sua teoria della Relatività generale, e son trascorsi 111 anni da quando, nel 1905, egli scrisse la più famosa delle sue formule, quella che stabiliva l’equivalenza tra massa ed energia. Che la materia possa trasformarsi in energia e viceversa è ormai un fatto inconfutabile, accettato da tutti, tanto più che quella semplice formula permette di comprendere non solo sulla base di quale principio funzionino acceleratori di particelle e centrali nucleari, ma anche come si produca all’interno del Sole quell’energia che qui sulla Terra ci è necessaria per vivere.
Da decenni, migliaia e migliaia di fisici lavorano quotidianamente a progetti ed esperimenti che non avrebbero alcun senso se tale trasformazione non fosse possibile. Eppure, per il comune mortale, quella formula, pur così semplice in apparenza, mantiene un aspetto recondito e misterioso. Che significato ha il quadrato della velocità della luce? – si chiederanno in molti – E perché è proprio quello, un numero enorme, il fattore che determina la conversione di materia in energia?

Proviamo qui a derivare la formula da alcune semplici considerazioni, confidando che anche chi non abbia dedicato anni allo studio della fisica, e tantomeno della relatività einsteiniana, sarà in grado di seguire la nostra linea di ragionamento. Occorre prima però fare un breve preambolo, che riguarda il senso dell’uguale. Anche l’uguale, infatti, pur essendo in apparenza tanto semplice, può racchiudere in sé significati assai diversi. Dipende insomma da come lo si guarda.
Tanto i fisici quanto i matematici, ad esempio, lavorano spesso con formule ed equazioni, e nello scriverle l’uguale è un segno fondamentale [1], un elemento che al tempo stesso separa e unisce ciò che sta alla sua sinistra e ciò che sta alla sua destra. E però, sebbene scrivano le formule sostanzialmente nello stesso modo, matematici e fisici le “leggono” in modo diverso. Consideriamo, per chiarire la differenza, la seconda legge della dinamica di Isaac Newton (1642-1727):

F = ma

La forza che agisce su un corpo (F) – ci dice questa formula – è uguale alla massa (m) del corpo moltiplicata per l’accelerazione (a) del corpo stesso. Questo accade per esempio quando la forza che agisce è quella di gravità (il peso), e in tal caso il corpo, lasciato libero di cadere, accelera progressivamente fino all’impatto col suolo. Oppure può trattarsi di un veicolo (un’automobile, un treno, un’astronave) in cui la forza esercitata dal motore imprime un’accelerazione al veicolo stesso. In entrambi i casi, l’uguale può esser visto come una relazione tra valori numerici: la formula dice che se per uno stesso oggetto voglio ottenere un’accelerazione doppia, devo raddoppiare la forza; se invece voglio raddoppiare l’accelerazione mantenendo la stessa forza, l’unica possibilità è ridurre la massa alla metà.

Letta con gli occhi del fisico, però, la formula dice anche – e forse soprattutto – un’altra cosa: l’uguaglianza scritta è tra grandezze fisiche, e il valore di tali grandezze dipende inevitabilmente dall’unità di misura che utilizzo. Una distanza, ad esempio, può essere rappresentata da numeri diversi se la misuro in chilometri o in miglia, un chilo di farina o di carne è diverso da una libbra. Ma una legge fisica dev’essere valida indipendentemente dalle unità usate, e dunque, considerando nuovamente la formula di cui sopra, se cambio l’unità di misura della massa, allora deve cambiare in modo coerente anche l’unità di misura della forza; se cambio il modo di misurare l’accelerazione (cambiando l’unità di misura delle distanze oppure quella del tempo, o entrambe), ugualmente deve cambiare l’unità della forza. I fisici esprimono questo concetto affermando che esistono unità “fondamentali” (il chilogrammo, il metro, il secondo ecc.) e unità “derivate” (quella della forza si chiama per l’appunto Newton): le unità fondamentali, implicite sopra alla destra dell’uguale, sono “nascoste” in quella della forza, a sinistra dell’uguale [2].
Un altro modo per esprimere lo stesso concetto è il “bilanciamento dimensionale”: in ogni equazione della fisica, se ho una grandezza (per esempio una distanza) a destra dell’uguale, allora devo averla, in forma manifesta oppure nascosta – nel modo che abbiamo accennato sopra – anche a sinistra. Fine del preambolo.

Veniamo adesso all’energia. Che cosa si intende per energia? L’idea che dentro gli oggetti esista qualcosa che in certe condizioni si può estrarre ed utilizzare è sicuramente molto antica [3]. Che questo qualcosa possa anche non avere una consistenza materiale, ma essere solo una possibilità da concretizzare in un’azione o in un cambiamento deve aver richiesto secoli e forse millenni di elaborazione. La concezione moderna – forse abbozzata dagli antichi scienziati greci, ma di sicuro perfezionata all’epoca della cosiddetta rivoluzione scientifica e industriale – è che gli oggetti contengono “qualche cosa” (è una loro proprietà) che può, in determinate circostanze, essere estratta per compiere un lavoro [4]. Ma che cos’è il lavoro?
Per compiere un lavoro, possiamo pensare, è innanzitutto necessaria una forza (e qui torniamo a Newton), ma non basta. Per esempio: posso spingere un muro oppure un macigno “fino a consumare tutte le mie forze”, ma quello non si sposta e così non ho fatto nessun lavoro. Se invece spingo o trascino un oggetto pesante ma mobile, allora modifico l’esistente e compio effettivamente un lavoro, un lavoro tanto maggiore quanto maggiore è la forza applicata e quanto maggiore è lo spostamento ottenuto. Esprimendo il concetto in termini matematici, possiamo dire che il lavoro è forza per spostamento, intendendo con quest’ultimo la distanza percorsa [5]. Ovvero: energia = lavoro = forza per distanza. Che può essere scritto nella notazione matematica:

E = L = Fd

L’energia (E), dunque, è una forza (F) per una distanza percorsa (d). Ma la forza – lo abbiamo visto sopra – altro non è che una massa per un’accelerazione; e quindi, sostituendo, abbiamo:

E = mad

Energia uguale massa per accelerazione per distanza percorsa. Ma l’accelerazione che cos’è? È la variazione della velocità nell’unità di tempo, che possiamo anche scrivere come v / t [6]. Abbiamo così:

E = mvd / t

Se ora consideriamo che la distanza percorsa (d) diviso il tempo (t) è di nuovo una velocità (v), possiamo riscrivere la formula come segue:

E = mv²

In pochi passaggi, siamo già arrivati molto vicino alla formula di Einstein, e non abbiamo ancora fatto ricorso a nessun sofisticato principio relativistico. Rimane da comprendere perché la velocità v debba essere proprio quella della luce (c). Possiamo per questo ricorrere a un argomento intuitivo, anche se non proprio rigoroso.

EinsteinÈ esperienza comune che la massa è una proprietà additiva [7]: se ho due oggetti separati, la massa totale è la somma delle rispettive masse. Ma anche l’energia, per come l’abbiamo definita sopra, è una proprietà additiva: il lavoro totale che possiamo estrarre da due corpi è la somma dei lavori estraibili separatamente dall’uno e dall’altro, quindi l’energia totale è la somma delle energie. A questo punto, l’ipotesi più semplice è che il fattore di conversione v² tra massa ed energia sia una costante e, ancor di più, che sia una costante universale. Ma l’unica velocità che è una costante universale – questo è uno dei presupposti della teoria della relatività – è proprio la velocità della luce. Essa non dipende infatti né dal luogo, né dal tempo, né dalla velocità con cui ci spostiamo. Possiamo dunque scrivere:

E = mc²

In verità, poiché l’argomentazione che abbiamo svolto è di carattere puramente “dimensionale”, potrebbe ancora esserci una costante adimensionale (in senso fisico), un semplice numero come lo sono ½, pigreco, oppure radice di 2 [8]. Il nostro intento era però quello di mostrare perché nella formula di Einstein era necessario l’elevamento al quadrato della velocità della luce, e questo non verrebbe alterato dall’introduzione di una costante.
Naturalmente, la vera dimostrazione della formula di Einstein è quella che ne diede Einstein nel 1905, ma purtroppo il suo ragionamento è irto di radici quadrate e difficile da seguire per chi non sia versato nelle materie scientifiche. La sua conclusione, comunque, è che la costante vale uno, e che quindi la formula scritta sopra è proprio esatta.

Cronache Laiche

 

  • [2] Non ce ne vogliano i matematici, per la parte fatta loro giocare nell’argomento; si tratta appunto di un “gioco delle parti”, col proposito di chiarire i diversi modi di intendere l’uguale. La “storiella” però non sarebbe completa senza il contributo degli ingegneri, i quali concluderebbero per le vie brevi affermando che senz’altro E = mc²±1, inficiando così l’intera argomentazione svolta nel testo. Ci auguriamo che in futuro anche gli psichiatri, che da qualche tempo si interessano alla fisica, possano dare un loro contributo.
  • [3] Si trova, in fondo, già nell’allattamento: il latte è il “contenuto” dell’oggetto seno, cioè della madre; al crescere del bambino, diverrà poi il “sapere” dell’altro.
  • [4] Accade spesso che la storia e l’evoluzione delle idee lascino tracce per così dire “fossili” nella morfologia delle parole, tracce di cui i parlanti non sono talvolta neppure consapevoli. Lo stretto nesso tra energia e lavoro è rimasto nella radice “erg” – la stessa di “sinergia”, “ergonomia”, “ergoterapia” – che appunto in greco vuol dire “lavoro”. La forza (“dynamis” in greco) permane nell’aggettivo “dinamico”, e lo strumento utilizzato per misurare la forza vien detto ancora oggi “dinamometro”.
  • [5] In realtà, per essere precisi, tanto la forza quanto lo spostamento sarebbero vettori, cioè rappresentabili nelle tre dimensioni dello spazio come frecce orientate; il lavoro è il “prodotto scalare” tra i due vettori, ovvero il modulo dell’uno per il modulo dell’altro per il coseno dell’angolo tra i due; queste precisazioni però non sono rilevanti per l’argomentazione “dimensionale” sviluppata nel testo.
  • [6] Sarebbe, per l’esattezza, la derivata della velocità rispetto al tempo, ma anche in questo caso la precisazione non incide sull’argomentazione “dimensionale”.
  • [7] Il termine tecnico utilizzato dagli addetti ai lavori è “estensiva”.
  • [8] È quanto accade ad esempio per l’energia cinetica, quella parte di energia dovuta alla velocità di traslazione di un corpo nello spazio, la cui espressione in fisica “classica” – ossia prerelativistica – è T = ½mv². Ma il passaggio si presta anche ad una riflessione che riteniamo interessante: le costanti “fisiche” fondamentali tendono ad assumere valori molto grandi (la velocità della luce c = 300.000 km/s circa) oppure molto piccoli (la costante di Planck h = 6,626·10e-34 J·s), mentre quelle “adimensionali” sono in genere abbastanza prossime all’unità. La circostanza si può attribuire alle nostre unità di misura, che per ragioni pratiche sono adeguate alle dimensioni e ai movimenti del nostro corpo: un metro è più o meno la lunghezza di un passo, un chilo è un peso che possiamo trasportare senza affanno e senza accorgimenti particolari, un secondo è la durata di una pulsazione cardiaca ma anche il tempo necessario a compiere un’azione semplice, quale prendere un oggetto o fare un passo. Noi siamo però per forza di cose molto grandi rispetto alle particelle subatomiche (il cosiddetto “infinitamente piccolo”), e al tempo stesso molto piccoli rispetto alle galassie e all’universo (ciò che è “infinitamente grande”). Esistono sistemi di unità di misura – detti “naturali”, ma usati in pratica soltanto dai fisici per semplificare la scrittura delle loro formule – in cui costanti “universali” come c ed h valgono 1. Se c vale 1, ovviamente anche c² vale 1; cade in tal caso la differenza tra c e c². Si veda, a titolo di esempio, sul blog del fisico Marco Delmastro (che lavora al CERN di Ginevra), l’articolo Massa, velocità, energia. La formula più famosa del mondo e il teorema di Pitagora. Le costanti “adimensionali” come pigreco, radice di 2, o la cosiddetta sezione aurea, sono invece “per loro natura” prossime all’unità perché legate a fattori geometrici che non dipendono dalle dimensioni del mondo reale.
 
  

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Detective presso Computer Crime Research Center. Investigazioni Roma. Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni Seminario Analisi del Crimine Violento Università di Roma

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Fisica

Acqua liquida sulla luna di Giove Europa

Un team internazionale di astronomi ha rielaborato i dati raccolti oltre 20 anni fa dalla missione Galileo e scoperto che sulla luna ghiacciata di Giove Europa, proprio come per la saturniana Encelado, sotto la superficie si nasconde un oceano caldo e gli ingredienti base per la vita

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C’era un mistero tra i dati della sonda Galileo che da ormai oltre 20 anni affliggeva gli astronomi. La sonda per anni ha raccolto dati su Giove e sui suoi satelliti, come Europa e Ganimede, e proprio sul primo ha rivelato una anomali magnetica che è diventato un vero e proprio mistero. Una curvatura del suo campo magnetico, piccola e localizzata, che per decenni è rimasta senza spiegazione, fino a oggi. Gli scienziati che stanno lavorando alla missione Europa Clipper della NASA, che è diretta a esplorare il satellite gioviano e verificarne l’abitabilità, ha spulciato tra i vecchi dati raccolti nel 1997 e con nuovi modelli informatici ha scoperto che dagli oceani ghiacciati e dai laghi sotterranei vengono espulsi dei getti di vapore acqueo, la prova che esiste acqua liquida e quindi gli ingredienti necessari a supportare la vita.

Alla guida del team di ricercatori che ha effettuato la scoperta pubblicata sulla rivista Nature Astronomy c’è Xianzhe Jia, fisico spaziale dell’Università del Michigan e collaboratore alla missione Europa Clipper, che ha spiegato: “I dati erano lì, ma avevamo bisogno di modelli più sofisticati per dare un senso alle osservazioni”.

A ispirare il salto nel passato, ha raccontato lo scienziato, è stata un altro membro del team scientifico della futura missione NASA, Melissa McGrath. La ricercatrice del SETI Institute ha mostrato durante una presentazione delle immagini scattate dal telescopio Hubble di una zona di Europa ed è allora che Jia ha avuto l’intuizione:

“Una delle località che ha menzionato ha fatto suonare nella mia testa un campanello. Galileo ha effettuato un passaggio ravvicinato proprio vicino a quella località, che è stata una delle più vicine osservazioni che abbiamo mai avuto a disposizione. È stato allora che abbiamo realizzato che avremmo dovuto ricontrollare i dati. Avevamo bisogno di vedere se c’era qualcosa tra i dati che poteva svelarci la presenza o meno di un getto”.

Vecchi dati alla mano e nuovi modelli nell’altra, Jia e colleghi si sono avventurati nell’analisi dei dati di Galileo, raccolti durante un flyby nel 1997 ad appena 200 chilometri dalla superficie di Europa, e nel confronto con le immagini ultraviolette scattate nel 2012 dal telescopio spaziale Hubble, in cui i getti sembravano venire emessi proprio dalla superficie ghiacciata del satellite.

Se già nelle immagini di Hubble sembrava chiara l’esistenza dei getti, i dati di Galileo rappresentano una prova ancora più forte e corroborante, un prova che però oltre 20 anni fa gli scienziati non furono in grado di svelare, perché gli strumenti a loro disposizione non erano adatti allo scopo e soprattutto il team non sospettava nemmeno della loro esistenza e che la sonda avesse potuto sfiorarli nel momento di eruzione dalla gelida luna.

Oggi infatti sappiamo che i getti esistono su Encelado, la luna ghiacciata di Saturno, e che si tratta di materiale che viene espulso in pennacchi che si ionizzano e lasciano un caratteristico segnale nel campo magnetico del pianeta. Applicando la moderna conoscenza di come questi getti influenzano il campo magnetico del satellite e rielaborando i dati del magnometro ad alta risoluzione raccolti durante il passaggio ravvicinato ad Europa, finalmente i ricercatori hanno identificato la causa di quella piccola e localizzata curva che è proprio la prova della presenza di un caratteristico pennacchio.

Oltre al magnometro, Galileo disponeva anche di uno spettrometro per le onde di plasma, che ha catturato le onde provocate dalle particelle cariche nei gas che compongono l’atmosfera di Europa. E anche nella rielaborazione di questi dati, la teoria della presenza dei getti sembrava trovare conferma. Mettendo a confronto queste due prove in un nuovo modello tridimensionale dell’interazione tra plasma e corpi celesti del sistema solare e aggiungendo alla “ricetta” le osservazioni di Hubble, Jia e colleghi sono riusciti anche a definire le dimensioni di questi getti di vapore. Robert Pappalardo, project scientist della missione Europa Clipper al Nasa Jet Propulsion Laboratory (JPL) di Pasadina, in California, ha spiegato:

“Ora sembrano esserci molte linee di prova per negare l’esistenza di pennacchi su Europa. Questo risultato li rende molto più reali e, per me, rappresenta un punto di svolta: non si trattano più di indizi incerti da una immagine lontana”.

Un risultato, quello ottenuto da Jia e colleghi, che cambia l’approccio degli scienziati nella progettazione della missione Europa Clipper, che sarà lanciata dalla NASA nel 2022 proprio per raggiungere il satellite di Giove, raccogliere campioni della sua atmosfera e superficie e permettere di studiarne l’abitabilità.

Conoscere l’esistenza dei getti di vapore infatti cambia anche i percorsi orbitali della futura sonda, che non avrà più bisogno di perforare il ghiaccio della superficie della luna per raccogliere campioni del suo interno, ma potrà semplicemente attingere dai getti espulsi per svelare la composizione interna del corpo celeste, come ha spiegato Pappalardo:

“Se i getti esistono e possiamo raccogliere campioni direttamente di quanto sta uscendo dall’interno di Europa, dopo saremo in grado più facilmente di capire se il satellite ha gli ingredienti per la vita. Questo è l’obiettivo della missione, il grande quadro d’insieme”.

Il salto nel passato dunque apre un nuovo futuro nell’esplorazione spaziale, gettando le basi sia per Europa Clipper che per la futura missione Juice (Jupiter Icy Moons Explorer) dell’Agenzia spaziale europea. Dopo 20 anni finalmente uno dei misteri di Europa è stato svelato e ora agli scienziati non resta che dare la caccia all’acqua e a quegli elementi che potrebbero fare del satellite un luogo potenzialmente abitabile.

 
  

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Oggi Scienza

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Fisica

Cosa accadrà al Sole quando morirà

Fra cinque miliardi di anni la nostra stella morirà e si trasformerà in una nebulosa planetaria. Dopo decenni di dubbi, oggi la conferma da un nuovo modello

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Ora gli scienziati sono sicuri sul destino del Sole. Fra cinque miliardi di anni, quando la nostra stella finirà l’energia disponibile per mantenersi in vita, si trasformerà in una nebulosa planetaria, ovvero un anello di grandi dimensioni e massa, pieno di gas e polveri interstellari (ovvero le particelle che sono presenti negli spazi fra le stelle all’interno delle galassie). Per anni, gli scienziati non erano certi di cosa sarebbe successo, dato che la massa del Sole era considerata troppo bassa per dar vita ad un anello così grande e ben visibile. Ma oggi, uno studio della University of Manchester riprende in mano la questione, confermando l’ipotesi della nebulosa planetaria tanto a lungo discussa. I risultati sono pubblicati su Nature Astronomy.

Una volta terminata la loro energia, circa 9 stelle su 10 si trasformano in nebulose planetarie, una fase intermedia nella transizione da gigante rossa– uno degli ultimi stadi della sua evoluzione – a nana bianca, lo stadio finale.

Per studiare il futuro del Sole, gli scienziati hanno sviluppato un nuovo modello basato sui dati che predice l’evoluzione delle stelle: in pratica questo modello fornisce dati sulla luminosità dell’involucro espulso dal corpo celeste, quando muore, ovvero la massa di gas e polvere, per stelle di differente massa ed età. “Questo involucro può avere una massa che è circa la metà di quella della stella originaria”, ha spiegato Albert Zijslra dell’ Università di Manchester: proprio a partire da questo momento, il nucleo della stella, che sta terminando l’energia, muore e si spegne definitivamente.

Quando si è in presenza di una stella morente, soltanto corpi celesti sufficientemente grandi con nuclei che bruciano rapidamente – tipicamente in un periodo di circa 10mila anni, che per i corpi celesti è molto breve – forniscono un calore che basta a ionizzare il gas, un fenomeno alla base dell’illuminazione che rende la nebulosa planetaria visibile. I modelli ritenuti validi finora stimavano che per avere questo esito era necessaria una massa circa doppia di quella del Sole, dato che solo grandi masse stellari potevano produrre un calore sufficiente a produrre questa luce. Ma il lavoro di oggi rimette in discussione e confuta questo assunto, inserendo nel modello anche le evidenze più recenti, che mostrano che il nucleo del #Sole brucia tre volte più velocemente di quanto si pensava finora, compensando così il dato della massa insufficiente.

Ma lo studio di Manchester risolve anche un’altra questione rimasta in sospeso. Le galassie ellittiche sono fra le più antiche dell’universo e le loro stelle più grandi sono già morte, mentre rimangono soltanto quelle più piccole, che secondo le attuali teorie hanno masse troppo ridotte per dare vita a nebulose planetarie, tuttavia gli scienziati le riescono ad osservare anche in queste galassie. Il nuovo modello fornisce una spiegazione per queste stelle che è simile a quella valida per il Sole: anche se le loro masse sono piccole, i loro nuclei bruciano più rapidamente di quanto si pensasse e questo produce il bagliore che serve ad illuminare gli ammassi di gas e polveri, rendendo possibile l’esistenza di nebulose planetarie.

 
  

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Scoperto un nuovo stato della materia

E’ disordinato, ma obbedisce alle sue regole

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Pur ‘disordinato‘ ha un proprio ordine: così si può descrivere il nuovo stato della materia dal comportamento bizzarro, osservato per la prima volta dal gruppo di fisici teorici dei Laboratori Nazionali di Los Alamos guidato dall’italiano Cristiano Nisoli,. La sua particolarità del nuovo stato della materia è che, nonostante riguardi la materia classica, si comporta secondo le leggi del regno dell’infinitamente piccolo governato dalla fisica quantistica. Il risultato, descritto sulla rivista Nature Physics, in futuro potrà essere molto utile per le tecnologie quantistiche, dall’internet del futuro alle comunicazioni, ai supercomputer.

“In fisica si pensa che la materia sia organizzata o in uno stato ordinato, come quello dei cristalli, o dei liquidi e dei gas, o più disordinato, che rispondono a temperatura e pressione. Ma esistono, come abbiamo dimostrato, degli stati di materia che pur disordinati obbediscono ad alcune regole“, spiega all’ANSA Nisoli. I ricercatori hanno lavorato su nanomagneti artificiali, chiamati ghiacci di spin, che cambiano direzione a seconda dei cambiamenti di temperatura, osservando il loro comportamento a livello microscopico.

“Di solito se la temperatura si abbassa rapidamente, l’energia del sistema scende. In questo caso invece è rimasta intappolata. Un comportamento questo – commenta Nisoli – che viola alcuni principi della termodinamica. Il sistema infatti è stato intrappolato da ‘costrizioni’ che i fisici chiamano ‘topologiche’ e che finora si erano viste solo in sistemi quantistici, non classici, cioè grossi e con più energia rispetto a quella dei sistemi quantistici”.

Dopo averlo creato artificialmente, i ricercatori vogliono ora vedere se anche in naturaesiste un materiale del genere, perchè potrebbe essere utile per diverse applicazioni pratiche. “Questo é importante perché i sistemi quantistici fanno molte cose strane e interessanti, per esempio la superconduttività.

Il ‘problema’ è che le fanno a temperature molto basse, vicine allo zero assuluto, cioè -273 gradi Celsius. I sistemi classici artificiali invece possono essere progettati per funzionare a temperature e campi più facilmente utilizzabili nella vita di tutti i giorni”

 
  

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